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Propiedades de las Figuras GEOMETRICAS

Circulo:

El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por lo que a los efectos geométricos equivale a un polígono regular con infinitos lados.

• La circunferencia — que lo delimita, y que es el equivalente al perímetro.
• El centro — es el punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.
• El radio — es la medida de distancia entre el centro y la circunferencia, es el equivalente al radio de los polígonos regulares, y también al apotema.
• El diámetro — que es la línea que pasando por el centro une dos puntos opuestos de la circunferencia, y por lo tanto mide el doble del radio, es el equivalente a la diagonal.
• La secante — que es la línea que incluye dos puntos de la circunferencia, sin pasar por el centro. El tramo entre esos puntos, es lacuerda.
• La tangente — que es la una línea recta que toca solamente un punto de la circunferencia.
• El arco — que es el tramo de la circunferencia comprendido entre dos puntos distintos de la misma.
• La flecha — que es la una línea perpendicular al punto medio de la secante, que lo une con la circunferencia.
• El sector — que es la superficie comprendida entre dos radios y el arco que delimitan.

es diferente a las otras figuras: no tiene lado ni vértice, tiene borde y región interior.

· 

·       CUADRADO Es un paralelogramo que tiene sus lados y sus ángulos iguales. Es un cuadrilátero especial, cumple con la condición de rectángulo (4 ángulos rectos) y de rombo (4 lados iguales), por este motivo se dice que el cuadrado es rectángulo y rombo a la vez

·         El cuadrado es un polígono regular ya que tiene sus lados y sus ángulos igual 

         estiene cuatro lados, cuatro vértices y sus lados son iguales.

 

RECTANGULO tiene cuatro vértices, la región interior también lo tiene, tiene cuatro lados pero no son iguales. Además el rectángulo tiene dos pares de lados iguales.

 

TRIANGULO tienen tres lados y tres vértices. A veces pueden tener sus lados iguales y otras no.

Polígono de ocho lados. El octágono regular es un polígono que tiene ocho lados iguales y ocho ángulos iguales.

 

El hexágono regular es un polígono con seis lados iguales y seis ángulos iguales.

Una figura de cuatro lados que tiene todos sus lados de una misma longitud.

También los lados opuestos son paralelos y los ángulos opuestos son iguales. Es un tipo de paralelogramo.

es un círculo aplastado que se asemeja a una forma ovoide o elíptica. A diferencia de otras curvas, el término óvalo no está claramente definido y muchas curvas diferentes son llamadas óvalos. Éstas tienen en común lo siguiente:

Su forma no se aparta mucho de la de una circunferencia o una elipse, suelen tener uno o dos ejes de simetría y son curvas planas diferenciables (textura suave), simples (no se auto-intersecan), convexas, y cerradas.

Un pentágono regular es aquél que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos internos congruentes.

• Cada ángulo interno mide 108 grados o  radianes.

• Cada ángulo externo del pentágono regular mide 72º.

PUNTOS NOTABLES EN EL TRIANGULO

PUNTOS NOTABLES EN EL TRIANGULO

Baricentro: Es el punto donde se cortan las medianas de un triángulo

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

      BG = 2GA

Ortocentro: Es el punto donde se cortan las alturas de un triángulo

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Circuncentro: Es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados de un triangulo 

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Incentro: Es el punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos de un triángulo

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Ensayo de 2400 palabras Rectángulo Áureo

En este tema que realizare mi ensayo se trata de el rectángulo áureo del cual a sido un tema que es muy extenso ya que se encuentra tras barios años y con personas las cuales son muchas pero cada una de ellas a aportado algo , en el cual también han utilizado para muchas cosas mas como el arte ect.

Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo.  Es fácil construir un rectángulo áureo a partir de un segmento de recta inicial, trazarle la mediatriz, formar un cuadrado a partir del segmento y luego hacer una circunferencia con radio el tramo que va desde el punto  medio del segmento hasta el vértice superior derecho.

El origen exacto del término sección áurea es bastante incierto. Generalmente se sitúa en Alemania, en la primera mitad del S. XIX. Muchos han sido los artistas, humanistas y matemáticos que lo han tratado, aunque bajo distinto sobrenombre y con distinta disposición. Otros nombres que recibe son sección divina, sección de oro, proporción divina, proporción dorada, canon áureo, regla de oro o número de oro. Sección áurea es simplemente una proporción concreta. Esta proporción ha desempeñado un importante papel en los intentos de encontrar una explicación matemática a la belleza, de reducir ésta a un número, de encontrar “ la cifra ideal ".  De esta proporción se hablaba ya desde muy antiguo, los egipcios la descubrieron buscando medidas que les permitieran dividir la tierra de forma exacta. Hoy en día son muchos los artistas que usa esta proporción para estructurar sus obras, ya sea de forma consciente e inconscientemente, debido al bagaje cultural de siglos.

Todo es NUMERO

La particularidad del sistema pitagórico fue encontrar en las matemáticas una clave para resolver el enigma del Universo y en el número, el principio de todas las cosas. Las teorías en torno a la música ocupan un puesto de especial importancia para esta escuela pitagórica; mantenía una posición central dentro de la metafísica y la cosmología pitagóricos. Las matemáticas y la música se unen en el concepto pitagórico de "armonía", que significa proporción de las partes de un todo. Los pitagóricos se guiaron siempre en sus investigaciones por el principio de que la música debía ser reconducida hasta las proporciones más simples, ya que debía reflejar en todo la armonía universal. Pitágoras descubrió la resonancia de una cuerda tensa, y también que los sonidos obtenidos corresponden a las diferentes fracciones de la cuerda; en consecuencia, estos hechos se pueden reducir a relaciones de números enteros y la armonía tiene un aspecto matemático. Según la leyenda, Pitágoras descubrió la armonía al escuchar el sonido de martillos provenientes de diferentes yunques en el taller de un herrero. El peso de estos martillos se correspondía con los números 12, 9, 8, 6; el peso del cuarto martillo daría el tono, y el del primer martillo, que era el doble del menor, daba la octava. El peso de los otros dos, que son las media aritmética y armónica de los dos anteriores darían la quinta y la cuarta. Llevadas estas proporciones a un monocordio vemos que el tono o nota base lo da el sonido de la cuerda entera, es lo que se llamaba unísono, si la cuerda tiene la mitad de la longitud original suena una octava más alta que la anterior, la proporción 1/2, que produce el mismo sonido que la cuerda entera solo que más agudo se llama octava (DO-DO) porque se llega a él a través de ocho intervalos de la escala, ocho notas, ocho teclas blancas del teclado; a esta proporción llamaban los griegos diapasón. Si su longitud son 2/3 de la primera, la cuerda emite la quinta de la nota base, la proporción 2/3 se llamó diapente, denominada hoy quinta (DO-SOL) pues se llega a ella a través de cinco intervalos. Por último, si su longitud son 3/4 de la primitiva, la nota que suena es la cuarta de la base, a la proporción 3/4 se le llamó diatésaron, conocida ahora como cuarta (DO-FA) con cuatro intervalos.

 Los pitagóricos atribuían a las distancias entre los astros, relaciones análogas a las de las longitudes de las cuerdas vibrantes que dan las notas características de los modos musicales; es lo que ellos denominaban la armonía de las esferas. Platón retomó las ideas de que la materia y el mundo están organizados según estructuras matemáticas producidas explícitamente como análogas a estructuras musicales. Bajo la influencia de Platón, la Edad Media y el Renacimiento concedieron una gran importancia a esta “música mundana”, armonía del mundo

Sección aurea en la naturaleza  

La lista de formas orgánicas en las que encontramos la sección áurea podría ser interminable (algo de esto hemos intuido en el desarrollo del trabajo: las proporciones del cuerpo humano, la forma espiral de la concha del nautilus, etc.), pero aquí me limitaré a exponer la relación de ésta con algunas especies vegetales.

Algunas flores tienen la particularidad de crecer siguiendo tramas impensables que nos hacen pensar en un "Dios geómetra", por ejemplo, los flósculos de la margarita, crecen en los puntos de contacto de dos conjuntos de espirales que se mueven en direcciones opuestas, una en el mismo sentido y otra en contrario al de las agujas del reloj(fig.137 ). El centro del girasol también se compone de flósculos que crecen siguiendo espirales logarítmicas y equiangulares y que se mueven en direcciones opuestas(fig.138). El patrón estructural de una flor de cardo(fig. 139 ) comparte también esta forma espiral.

Pasando a las formas poligonales tenemos un patrón de tallo de amapola (fig.140) con forma hexagonal y la forma pentagonal de las diatomeas(fig.141). Muchos árboles y arbustos que producen frutos comestibles crecen también de acuerdo a un patrón pentagonal. Si se cortan horizontalmente las manzanas y las peras (fig. 142), revelan en su distribución de semillas la estrella pentagonal heredado del patrón original de la flor.

ANTESEDENTES

El origen exacto del término sección áurea es bastante incierto. Generalmente se sitúa en Alemania, en la primera mitad del S. XIX. Muchos han sido los artistas, humanistas y matemáticos que lo han tratado, aunque bajo distinto sobrenombre y con distinta disposición. Otros nombres que recibe son sección divina, sección de oro, proporción divina, proporción dorada, canon áureo, regla de oro o número de oro. Sección áurea es simplemente una proporción concreta. Esta proporción ha desempeñado un importante papel en los intentos de encontrar una explicación matemática a la belleza, de reducir ésta a un número, de encontrar “ la cifra ideal ".  De esta proporción se hablaba ya desde muy antiguo, los egipcios la descubrieron buscando medidas que les permitieran dividir la tierra de forma exacta. De Egipto pasó a Grecia y de allí a Roma. Pitágoras (569 a.C.) escogió como símbolo para su Escuela la estrella pentagonal, figura geométrica que muestra en todas sus relaciones la sección áurea y se cree que a partir de esta figura llegaron a la noción de inconmensurabilidad y al conocimiento de los números inconmensurables, tales como el que ahora nos ocupa. Platón (428-347 a.C.) hace referencia a ella en el Timeo y dice “es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una ligazón entre ellas que las ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo...”. Euclides (450-380 a. C.), matemático griego, en su obra principal Elementos, extenso tratado de matemáticas sobre geometría plana, proporciones, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio, nos revela la primera fuente documental importante sobre esta sección, su cálculo y trazado geométrico. Más tarde, Vitruvio, arquitecto romano, vuelve a tratarla en sus Diez libros de arquitectura.

La sorprendente belleza de un número irracional

El número áureo pertenece al conjunto de los número irracionales, esto es, aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos número enteros.Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es irracional -un descubrimiento que incomodó de tal modo a los pitagóricos que lo ocultaron al mundo-. En nuestro caso, el número áureo lo podemos computar con una calculadora si seguimos estas sencillas instrucciones: primero, calculamos la raíz cuadrada de 5; luego sumamos 1 al resultado y el total lo dividimos por 2. Si sabemos programar un ordenador, podemos intentar batir el récord del mayor número de decimales calculados: en el año 2000 y con menos de 3 horas de computación, se encontraron los primeros 1.500 millones de cifras decimales. 

Matemáticamente hablando, podemos definir el número áureo como aquél que si le sumamos uno sale el mismo resultado que si lo elevamos al cuadrado. Así, si el 4 fuera el número áureo, para calcular su cuadrado no haría falta hacer la operación de 4 por 4, que sale 16, sino que simplemente bastaría con sumarle 1. Y es que en realidad existen dos números aúreos, uno positivo (1,618033...) y otro negativo (-1,618033...), pero es el primero el que se ha llevado toda la gloria. 

La espiral logarítmica de la concha del nautilo

Convirtamos ahora los números en cuadrados. Pongamos dos iguales, uno junto a otro, de cualquier tamaño, cuyos lados tomaremos como unidad. Encima de ellos, dibujemos otro cuyo lado sea el doble de los anteriores. A la derecha, añadamos otro más, con el triple de lado. Debajo, el correspondiente a 5, y así sucesivamente, de modo que cada nuevo cuadrado tenga de lado la suma de los dos cuadrados anteriores. Si ahora dibujamos un cuarto de circunferencia dentro de cada cuadrado (empezando por el primero), como en la fotografía de la caracola del comienzo del reportaje, tendremos una espiral logarítmica que es, justamente, la que presenta la concha del nautilo.

Ahora coja un lápiz y trace una línea que vaya desde el centro al exterior.Fíjese en dos puntos en los que esta línea corte a la concha, con la única condición de que la espiral haya dado una vuelta completa entre ambos. Comprobará que el más exterior está 1,618 veces más lejos del centro que el del interior. Esto quiere decir que el factor de crecimiento de la concha es el número áureo. 

El mejor sistema de ordenación posible

¿Por qué este gusto de la naturaleza por la sucesión de Fibonacci? Hojas, pétalos y semillas se ordenan en las plantas siguiendo un ángulo fijo porque éste es el mejor sistema de empaquetamiento aunque la planta crezca. Si colocamos el número áureo de hojas por vuelta en el tallo obtenemos el mejor empaquetamiento para que reciban todas ellas el máximo de luz sin que unas se oculten a otras y, en el caso de las flores, la mejor exposición paras atraer a los insectos polinizadores. Los números de Fibonacci son la mejor aproximación que existe al número áureo. Visto todo esto, no resulta sorprendente que el Partenón pueda enmarcarse en un rectángulo áureo -aquél en el que el cociente de su longitud por su altura sale el número áureo-. Igual sucede con las tarjetas de crédito. ¿Acaso hay algo más bello que una Visa sin límite de gasto?

Ejemplos:

por ejemplo en el árbol familiar de cualquier zángano de un panal. Éste nace del huevo no fertilizado de la reina, luego tiene una madre, pero no tiene padre. Por el contrario, tanto la reina (la única que puede poner huevos) como las obreras nacen del huevo fertilizado por un macho. Tienen, por tanto, padre y madre. Teniendo esto en mente, el árbol familiar de un zángano queda como sigue: tiene 1 madre, 2 abuelos (macho y hembra), 3 bisabuelos (dos de la familia de la abuela y uno de la del abuelo), 5 tatarabuelos, 8 tataratatarabuelos...

La cola del camaleón.

 Esta es la cola de un camaleón. Parece decirnos con su cola enroscada algo así como: "Yo también puedo crear algo parecido a una espiral de oro, sin un título en matemáticas superiores. Es muy sencillo. Simplemente comienzo con una cola, que es básicamente un cono largo y delgado, y la enrollo con fuerza. El resultado es tan bueno como la caparazón del nautilo por el que todo el mundo hace tanto escándalo".

Cuadro en AutoCAD

Porfe aquí esta mi trabajo :)