Ejemplo:
Teorema de convergencia de Fourier
El teorema de convergencia de Fourier afirma que una serie de Fourier puede converger a una función discontinua a pesar de que todos sus términos sean funciones continuas (y derivables) en todo x.
Demostración de la convergencia en una serie de Fourier.
Ejemplo:
Probar, usando el teorema de convergencia de Fourier, que el desarrollo en serie de Fourier de periodo 2π,
π2-k=1∞4(2k-1)2πcos (2k-1) x,
Para f(X)=|x|, para –π ≤ x ≤ π y periódico fuera de [-π, π], converge a f(X) en todas partes.
Solución: primero debemos de saber que f es continua en todas partes. Además, como
f(X)=|x|={ -x, si-π≤x <0 x, si 0≤x < π
Y es periódica fuera de [-π, π], se tiene
f´(X)= -1, -π<x <0 1, 0 <x < π
Asi, pues, también f´ es continua en [-π, π], salvo discontinuidades de salto en x=0 y en x=xπ. El teorema de convergencia de Fourier garantiza que la serie de Fourier converge a f en todas partes. En consecuencia podemos escribir
f(x)= π2-k=1∞4(2k-1)2πcos (2k-1) x,
Para todo x.
